בגרות 571 קיץ 2026 מועד א׳ – שאלה 7חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 35

בגרות 571 · קיץ 2026 מועד א׳ · שאלה 7

שיעור 35 – בגרות 571 קיץ 2026 מועד א׳ – שאלה 7

פרק 4 – 10 בגרויות 571: חקירת פונקציה טריגונומטרית

1נוסח השאלה

2סעיף א – זוגית או אי־זוגית

3סעיף ב – חיתוך עם ציר ה־x

4סעיף ג – הערך של b

5סעיף ד (1) – נקודות קיצון

6סעיף ד (2) – סקיצה

7סעיף ה – שיעור ה־y של A

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה:
f(x) = (1 + cos x) · (−1 + b cos x)
המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π .
b הוא פרמטר.

נתון: 0 < b < 1 .

א. האם הפונקציה f(x) היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x .

נתון כי לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x = π3 .

📄 נוסח השאלה · המשך

ג. מצאו את הערך של b .

הציבו b = 12 בפונקציה f(x) , וענו על הסעיפים ד–ה.

ד. (1) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.
(2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

נתונה הפונקציה h(x) = f(x) + |f(x)| , המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π .
נקודה A היא נקודה כלשהי הנמצאת על גרף הפונקציה h(x) .

📄 נוסח השאלה · המשך

ה. האם שיעור ה־y של נקודה A הוא חיובי, שלילי, שווה אפס או שאי אפשר לקבוע? נמקו את תשובתכם.

סעיף א – זוגית או אי־זוגית

התחום −π ≤ x ≤ π סימטרי סביב 0. נציב −x במקום x ונשווה ל־f(x) .

בודקים אם f(−x) = f(x) או f(−x) = −f(x)

📐 זוגית ואי־זוגית

f(x) = (1 + cos x) · (−1 + b cos x)

נציב −x במקום x :

f(−x) = (1 + cos(−x)) · (−1 + b cos(−x))

cos(−x) = cos x

📐 זווית נגדית

📐 זוגית ואי־זוגית

f(−x) = f(x) – זוגית
f(−x) = −f(x) – אי־זוגית

📐 זווית נגדית

cos(−x) = cos x

סעיף א – זוגית או אי־זוגית · המשך

cos(−x) = cos x

📐 זווית נגדית

f(−x) = (1 + cos x) · (−1 + b cos x)

f(−x) = f(x)

✅ פתרון סופי: הפונקציה זוגית , כי f(−x) = f(x) לכל x בתחום

📐 זווית נגדית

cos(−x) = cos x

סעיף ב – חיתוך עם ציר ה־x

על ציר ה־x מתקיים f(x) = 0 :

(1 + cos x) · (−1 + b cos x) = 0

מכפלה שווה 0, ולכן אחד הגורמים שווה 0.

📐 מכפלה שווה 0

גורם ראשון:

1 + cos x = 0

cos x = −1

📐 מכפלה שווה 0

מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

סעיף ב – חיתוך עם ציר ה־x · המשך

cos x = −1

cos x = cos π

📐 פתרון המשוואה cos x = cos a

x = π + 2πk או x = −π + 2πk

בתחום −π ≤ x ≤ π מתקבלים שני פתרונות, עבור k = 0 :

x = π , x = −π

גורם שני:

📐 פתרון המשוואה cos x = cos a

x = a + 2πk
x = −a + 2πk

סעיף ב – חיתוך עם ציר ה־x · המשך

גורם שני:

−1 + b cos x = 0

b cos x = 1

cos x = 1b

נתון 0 < b < 1 , ולכן 1b > 1 . אבל קוסינוס תמיד בין −1 ל־1 , ולכן לגורם השני אין פתרון.

✅ פתרון סופי: (−π , 0) , (π , 0)

סעיף ג – הערך של b

גזירה. הפונקציה היא מכפלה. נסמן:

u = 1 + cos x , v = −1 + b cos x

u′ = −sin x

📐 נגזרת של קוסינוס

v′ = b · (−sin x) = −b sin x

f′(x) = u′ · v + u · v′

📐 נגזרת של מכפלה

נחשב כל מכפלה בנפרד (פותחים סוגריים):

📐 נגזרת של קוסינוס

(cos x)′ = −sin x

📐 נגזרת של מכפלה

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

סעיף ג – הערך של b · המשך

נחשב כל מכפלה בנפרד (פותחים סוגריים):

u′ · v = −sin x · (−1 + b cos x)

u′ · v = sin x · (1 − b cos x)

u · v′ = (1 + cos x) · (−b sin x)

u · v′ = −b sin x · (1 + cos x)

נציב את שתי המכפלות:

סעיף ג – הערך של b · המשך

נציב את שתי המכפלות:

f′(x) = sin x(1 − b cos x) + (−b sin x(1 + cos x))

בשני האיברים יש sin x . נוציא אותו כגורם משותף:

f′(x) = sin x · [1 − b cos x − b(1 + cos x)]

נפתח את הסוגריים ונכנס איברים דומים:

f′(x) = sin x · [1 − b cos x − b − b cos x]

סעיף ג – הערך של b · המשך

f′(x) = sin x · [1 − b cos x − b − b cos x]

f′(x) = sin x · (1 − b − 2b cos x)

מציאת b. בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת:

f′(π3) = 0

📐 נקודת קיצון

f′(x) = sin x · (1 − b − 2b cos x)

נציב x = π3 :

📐 נקודת קיצון

בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0

סעיף ג – הערך של b · המשך

נציב x = π3 :

sin π3 · (1 − b − 2b cos π3) = 0

sin π3 = √32

📐 ערכים מיוחדים

הגורם sin π3 = √32 אינו 0, ולכן הסוגריים שווים 0. נציב cos π3 = 12 :

1 − b − 2b · 12 = 0

1 − b − b = 0

📐 ערכים מיוחדים

sin π3 = √32
cos π3 = 12

סעיף ג – הערך של b · המשך

1 − b − b = 0

1 − 2b = 0

b = 12

הערך מתאים לנתון 0 < b < 1 . בסעיף ד נראה שהנגזרת באמת מחליפה סימן ב־x = π3 , כלומר זו נקודת קיצון ✓

✅ פתרון סופי: b = 12

סעיף ד (1) – נקודות קיצון

נציב b = 12 בנגזרת מסעיף ג:

f′(x) = sin x · (1 − b − 2b cos x)

f′(x) = sin x · (1 − 12 − 2 · 12 cos x)

f′(x) = sin x · (12 − cos x)

נשווה ל־0. מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים שווה 0:

sin x · (12 − cos x) = 0

📐 מכפלה שווה 0

מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

סעיף ד (1) – נקודות קיצון · המשך

sin x · (12 − cos x) = 0

📐 מכפלה שווה 0

אפשרות 1:

sin x = 0

x = 0 + 2πk או x = π + 2πk

📐 פתרון המשוואה sin x = sin a

בתחום −π ≤ x ≤ π :

x = −π , x = 0 , x = π

📐 מכפלה שווה 0

מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

📐 פתרון המשוואה sin x = sin a

x = a + 2πk
x = π − a + 2πk

סעיף ד (1) – נקודות קיצון · המשך

x = −π , x = 0 , x = π

אפשרות 2:

12 − cos x = 0

cos x = 12

cos x = cos π3

📐 פתרון המשוואה cos x = cos a

x = π3 + 2πk או x = −π3 + 2πk

📐 פתרון המשוואה cos x = cos a

x = a + 2πk
x = −a + 2πk

סעיף ד (1) – נקודות קיצון · המשך

x = π3 + 2πk או x = −π3 + 2πk

בתחום מתקבלים שני פתרונות, עבור k = 0 :

x = π3 , x = −π3

קביעת סוג הנקודות. נסמן את הנקודות על ציר, וגם את קצות התחום ±π . נציב בנגזרת מספר מכל תחום:

f′(−π2) = sin(−π2) · (12 − cos(−π2))

f′(−π2) = (−1) · (12 − 0) = −12 < 0

סעיף ד (1) – נקודות קיצון · המשך

f′(−π2) = (−1) · (12 − 0) = −12 < 0

f′(−π6) = sin(−π6) · (12 − cos(−π6))

f′(−π6) = (−12) · (12 − √32) ≈ 0.18 > 0

f′(π6) = 12 · (12 − √32) ≈ −0.18 < 0

f′(π2) = 1 · (12 − 0) = 12 > 0

סעיף ד (1) – נקודות קיצון · המשך

שיעורי ה־y. מציבים בפונקציה עם b = 12 :

f(x) = (1 + cos x) · (−1 + 12 cos x)

נציב x = 0 :

f(0) = (1 + cos 0) · (−1 + 12 cos 0)

f(0) = 2 · (−12) = −1

סעיף ד (1) – נקודות קיצון · המשך

f(0) = 2 · (−12) = −1

נציב x = π3 :

f(π3) = (1 + cos π3) · (−1 + 12 cos π3)

f(π3) = (1 + 12) · (−1 + 14)

f(π3) = 32 · (−34) = −98

נציב x = π :

סעיף ד (1) – נקודות קיצון · המשך

נציב x = π :

f(π) = (1 + cos π) · (−1 + 12 cos π)

f(π) = (1 − 1) · (−1 − 12) = 0

הפונקציה זוגית (סעיף א), ולכן בצד השלילי הערכים זהים:

f(−π3) = −98 , f(−π) = 0

✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , −1) ; מינימום (−π3 , −98) , (π3 , −98) ; מקסימום קצה (−π , 0) , (π , 0)

סעיף ד (2) – סקיצה

מסמנים את הנקודות מסעיף ד (1) ואת נקודות החיתוך (±π , 0) , ומחברים לפי החצים בציר. הגרף סימטרי סביב ציר ה־y (זוגית):

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה – שיעור ה־y של A

הסימן של f(x) . הגרף מסעיף ד נמצא כולו מתחת לציר ה־x , ונוגע בו רק ב־x = ±π . אפשר לראות את זה גם בלי הגרף:

הגורם 1 + cos x אף פעם לא שלילי, כי cos x ≥ −1 .

הגורם −1 + 12 cos x תמיד שלילי, כי cos x ≤ 1 , ולכן הוא לכל היותר −1 + 12 = −12 .

מכפלה של מספר לא שלילי במספר שלילי היא 0 או שלילית, ולכן f(x) ≤ 0 בכל התחום.

ערך מוחלט של מספר שלילי (או 0) הוא המספר הנגדי:

📐 ערך מוחלט

|t| = −t כאשר t ≤ 0

סעיף ה – שיעור ה־y של A · המשך

ערך מוחלט של מספר שלילי (או 0) הוא המספר הנגדי:

📐 ערך מוחלט

|f(x)| = −f(x)

h(x) = f(x) + |f(x)|

נציב |f(x)| = −f(x) :

h(x) = f(x) + (−f(x)) = 0

כלומר h(x) = 0 לכל x בתחום: הגרף של h הוא קטע על ציר ה־x , מ־−π עד π .

📐 ערך מוחלט

|t| = −t כאשר t ≤ 0

סעיף ה – שיעור ה־y של A · המשך

כלומר h(x) = 0 לכל x בתחום: הגרף של h הוא קטע על ציר ה־x , מ־−π עד π .

✅ פתרון סופי: שיעור ה־y של A שווה אפס , כי h(x) = 0 בכל התחום

📌 סיכום התשובות

סעיף א

זוגית

סעיף ב

(−π , 0) , (π , 0)

סעיף ג

b = 12

סעיף ד (1)

מקס. (0 , −1) ; מינ. (±π3 , −98) ; מקס. קצה (±π , 0)

סעיף ד (2)

סקיצה

סעיף ה

שווה אפס

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא